Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 5) (x + 3) (x + 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (x - 5) (x + 3)$ et $g (x) = x + 4$ .

$(x - 5) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 5) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 5) (x + 3) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = x + 3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.4.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + 0))$

Étape 1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \cdot 1)$

Étape 1.4.8.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + x + 3)$

Étape 1.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 5 + 3)$

Étape 1.4.8.4

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 2)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 5) x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Étape 1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Étape 1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7

Associez des termes.

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Étape 1.5.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 \cdot x - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.6

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$x^{2} - 5 x + 3 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.7

Additionnez $- 5 x$ et $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.12

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.13

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot x + 4 \cdot - 2$

Étape 1.5.7.14

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 x - 8$

Étape 1.5.7.15

Soustrayez $2 x$ de $8 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 6 x - 8$

Étape 1.5.7.16

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 15 + 6 x - 8$

Étape 1.5.7.17

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$3 x^{2} + 4 x - 15 - 8$

Étape 1.5.7.18

Soustrayez $8$ de $- 15$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 23$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 23$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 23$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 23$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f''' (x) = 6$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$