Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.4.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \ln (x) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{3}{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$