Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Étape 1.2.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x \cos (x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x^{2})]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$- 4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$- 4 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$- 4 (x \cdot x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 (x^{1} x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (x^{1 + 2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 4 (x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x^{2})$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x^{2})]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) + 2 (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{3} (2 \cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 (x^{3} (\cos (x^{2}))) - 4 (\sin (x^{2}) (2 x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 8 (\sin (x^{2}) (x)) - 4 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.2.3

Soustrayez $4 \sin (x^{2}) x$ de $- 8 \sin (x^{2}) x$ .

$- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 \sin (x^{2}) x$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$ .

$- 8 x^{3} \cos (x^{2}) - 12 x \sin (x^{2})$