Calcul infinitésimal Exemples

$h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$

Étape 1

La fonction $H (z)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $h (z)$ .

$H (z) = \int h (z) d z$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$H (z) = \int \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z} d z$

Étape 3

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 3.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 3.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 z^{2} + 2$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 z^{2}$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2}{2 z^{3} + z}$

Étape 3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2 (1)}{2 z^{3} + z}$

Étape 3.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 z^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{2 z^{3} + z}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $z$ à partir de $2 z^{3} + z$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $z$ à partir de $2 z^{3}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z}$

Étape 3.1.1.2.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z^{1}}$

Étape 3.1.1.2.3

Factorisez $z$ à partir de $z^{1}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z \cdot 1}$

Étape 3.1.1.2.4

Factorisez $z$ à partir de $z (2 z^{2}) + z \cdot 1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2} + 1)}$

Étape 3.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $z (2 z^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $2 z^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.5.2

Divisez $2 (4 z^{2} + 1)$ par $1$ .

$2 (4 z^{2} + 1) = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 z^{2}) + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.7

Multipliez.

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Étape 3.1.7.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 z^{2} + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.8.1

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 3.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.1.2

Divisez $A (2 z^{2} + 1)$ par $1$ .

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2} + 1) + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.4

Multipliez $A$ par $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.5

Annulez le facteur commun de $2 z^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.8.5.1

Annulez le facteur commun.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.1.8.5.2

Divisez $(B z + C) (z)$ par $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + (B z + C) (z)$

Étape 3.1.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z \cdot z + C z$

Étape 3.1.8.7

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.7.1

Déplacez $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B (z \cdot z) + C z$

Étape 3.1.8.7.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z^{2} + C z$

Étape 3.1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.9.1

Déplacez $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Étape 3.1.9.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $z^{2}$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Étape 3.1.9.3

Déplacez $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + B z^{2} + C z + A$

Étape 3.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 3.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $z^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$8 = 2 A + B$

Étape 3.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $z$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 3.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $z$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A$

Étape 3.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

Étape 3.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

$2 = A$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’équation comme $A = 2$ .

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $8 = 2 A + B$ par $2$ .

$8 = 2 (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

Étape 3.3.4

Résolvez $B$ dans $8 = 4 + B$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $4 + B = 8$ .

$4 + B = 8$

$A = 2$

$C = 0$

Étape 3.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$B = 8 - 4$

$A = 2$

$C = 0$

Étape 3.3.4.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

Étape 3.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = 4 A = 2 C = 0$

Étape 3.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = 4, A = 2, C = 0$

Étape 3.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{2}{z} + \frac{4 z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{2}{z} + \frac{(4) \cdot z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Étape 3.5.2

Additionnez $4 z$ et $0$ .

$\int \frac{2}{z} + \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{z}$ par rapport à $z$ est $\ln (| z |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{z}{2 z^{2} + 1} d z$

Étape 8

Laissez $u = 2 z^{2} + 1$ . Alors $d u = 4 z d z$ , donc $\frac{1}{4} d u = z d z$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 z^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d z}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2} + 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 z^{2} + 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

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Étape 8.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 z^{2}$ par rapport à $z$ est $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 z + \frac{d}{d z} [1]$

Étape 8.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$4 z + 0$

Étape 8.1.4.2

Additionnez $4 z$ et $0$ .

$4 z$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Étape 9.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{4 u} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\ln (| z |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \ln (| u |) + C$

Étape 13

Simplifiez

$2 \ln (| z |) + \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 z^{2} + 1$ .

$2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$ .

$H (z) =$ $2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$