Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, π]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 3.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, π)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, π)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, π)$ car la dérivée est continue sur $(0, π)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, π]$ et différentiable sur $(0, π)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, π]$ et différentiable sur $(0, π)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, π]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Étape 7.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Résolvez $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

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Étape 8.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Étape 8.3.1.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Étape 8.3.1.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Étape 8.3.1.3

Divisez $0$ par $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 8.4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.4.1

Remplacez le $- 4 \sin^{2} (x)$ par $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 8.4.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 8.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 8.4.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 8.4.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Étape 8.4.5

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Étape 8.4.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

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Étape 8.4.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Étape 8.4.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Étape 8.4.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Étape 8.4.6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Étape 8.4.6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Étape 8.4.6.2

Factorisez.

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Étape 8.4.6.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.4.6.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 8.4.6.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Étape 8.4.6.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Étape 8.4.6.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 8.4.6.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.4.6.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 8.4.6.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Étape 8.4.6.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 8.4.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 8.4.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 8.4.8

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.4.8.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 8.4.8.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 8.4.8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 8.4.8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.4.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.4.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.4.8.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 8.4.9

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.4.9.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 8.4.9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 8.4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 8.4.11

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 8.4.12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Étape 8.4.13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.4.13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 8.4.13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8.4.13.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 8.4.13.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 8.4.13.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.4.13.4.2

Associez les fractions.

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Étape 8.4.13.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.4.13.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.4.13.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.13.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.4.13.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 8.4.13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.4.13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.4.13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.4.13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4.13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.4.13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.4.14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 8.4.14.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 8.4.14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.14.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 8.4.14.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 8.4.14.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 8.4.14.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.4.14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.4.14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.4.14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4.14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.4.14.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.4.15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.4.16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = π$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = π$

Étape 10