Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.1.1.1.2

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.1.1.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.1.1.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 2.1.1.1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.8

Associez ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.9.1

Placez ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.1.10

Associez $\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ et $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.1.11

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.1.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.1.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.1.1.15

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Étape 2.1.1.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Étape 2.1.1.16.2

Multipliez $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.2.1.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ comme ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 2.1.2.1.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Étape 2.1.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.8

Associez ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.9.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.9.2

Placez ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.9.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 2.1.2.10

Associez $\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ et $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.11

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $- 108$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.1.2.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.1.2.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.1.2.17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Étape 2.1.2.18

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.18.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Étape 2.1.2.18.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$36 = 0$

Étape 2.2.3

Comme $36 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x + 5 = 0^{3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.2.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 5}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 5}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Additionnez $- 8$ et $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 5)$ car $f'' (- 8)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 5)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 5, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 5, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 5, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 5)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 5, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8