Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 1, 2$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = \ln ({(1)}^{12})$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (1^{12})$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $\ln ({(1)}^{12})$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \ln (1)$

Étape 1.3.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = \ln ({(2)}^{12})$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (2^{12})$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Étape 1.4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $12$ .

$y = \ln (4096)$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $2$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ comme $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.9

Appliquez la règle de la constante.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

Étape 3.11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.12.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.12.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.12.4

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Étape 3.12.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 3.12.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Étape 3.12.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.12.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.12.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Étape 3.13

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

Étape 3.14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Étape 3.15

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.15.1

Simplifiez

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Étape 3.15.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Étape 3.15.1.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Étape 3.15.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.15.2.1

Évaluez $\ln (x) x$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Étape 3.15.2.2

Évaluez $x$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Étape 3.15.2.3

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Étape 3.15.2.4

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5

Simplifiez

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Étape 3.15.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (2)$ .

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.6

Déplacez $8$ à gauche de $\ln (2)$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.8

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.12

Soustrayez $1$ de $8$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

Étape 3.15.2.5.13

Réécrivez $\frac{\frac{7}{3}}{3}$ comme un produit.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

Étape 3.15.2.5.14

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

Étape 3.15.2.5.15

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.1.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.2

Additionnez $2 \ln (2)$ et $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.5

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Étape 3.16.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.1.7.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Étape 3.16.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Étape 3.16.1.8

Additionnez $8 \ln (2)$ et $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Étape 3.16.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.16.1.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.12

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

Étape 3.16.1.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.16.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{9}$ dans le numérateur.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

Étape 3.16.1.13.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

Étape 3.16.1.13.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Étape 3.16.1.13.4

Annulez le facteur commun.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Étape 3.16.1.13.5

Réécrivez l’expression.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

Étape 3.16.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.1.14.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

Étape 3.16.1.14.2

Multipliez $- - \frac{7}{3}$ .

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Étape 3.16.1.14.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

Étape 3.16.1.14.2.2

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

Étape 3.16.2

Soustrayez $8 \ln (2)$ de $24 \ln (2)$ .

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

Étape 3.16.3

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 3.16.4

Associez $- 12$ et $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 3.16.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

Étape 3.16.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.6.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

Étape 3.16.6.2

Additionnez $- 36$ et $7$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

Étape 3.16.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Simplifiez $16 \ln (2)$ en déplaçant $16$ dans le logarithme.

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $16$ .

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

Étape 5