Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Étape 1.3.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Étape 1.3.3.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.3.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.5

Soustrayez $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (2 θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

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Étape 3.8.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 3.8.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 3.8.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 3.8.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 3.8.2

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Étape 3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Étape 3.8.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \cdot 2}$

Étape 3.8.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 3.9

Soustrayez $2 \sin (2 θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{- \cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{- 2 \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Étape 4.1.3.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{- 2 \sin (π)}$

Étape 4.1.3.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{- 2 \sin (0)}$

Étape 4.1.3.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.3.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 θ)$ par rapport à $θ$ est $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 4.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Étape 4.3.7.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Étape 4.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Étape 4.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Étape 4.3.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 4.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \cdot 1}$

Étape 4.3.11

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{1}{- 4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Étape 5.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Étape 7.3.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- \cos (0)}$

Étape 7.3.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1)$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$