Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $\cos (x) e^{x}$ et $e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 2.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $e^{x}$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $e^{x} \cos (x)$ et $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Étape 2.4.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Étape 2.4.3

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Étape 2.4.4

Additionnez $- e^{x} \sin (x)$ et $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

Étape 2.4.5

Additionnez $2 e^{x} \cos (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Étape 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$