Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 9$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Étape 3

Évaluez $f (9)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = \sqrt{9}$

Étape 3.2

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$(\sqrt{9})$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{9}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Étape 3.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $9$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 4.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.8

Simplifiez

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Étape 4.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 4.3.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 6.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Étape 6.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Étape 6.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Étape 6.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 6.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Étape 7