Calcul infinitésimal Exemples

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $r^{2} \cos (2 θ)$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Étape 1.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Étape 1.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Étape 1.1.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Étape 1.1.3

Réécrivez $- 1 r^{2}$ comme $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Étape 2

Comme $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , remplacez $\cos (θ)$ par $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Étape 3

Comme $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , remplacez $r^{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ et $r$ par $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4

Écrivez en forme normalisée

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Étape 4.1

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1.1.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.3.6.5

Simplifiez

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.5.5

Simplifiez

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.6

Annulez le facteur commun à $x^{2} + y^{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1.6.1

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.1.1.6.2.1

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.7

Multipliez $2 x^{2} + 2 y^{2}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.9

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.9.2

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Étape 4.1.1.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Étape 4.1.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Étape 4.1.3

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 4.1.3.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 4.1.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Étape 4.1.3.3.1.3

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Étape 4.1.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Étape 4.1.5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Étape 4.1.5.1.2

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 4.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 4.3

La forme normalisée est $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5