Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) \cos (x) + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.4.2

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.1.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.4.4

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.5

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 1.1.4.5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.5.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.5.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.1.4.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.6.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 1.1.4.6.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.1.4.6.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 1.1.4.6.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 1.1.4.6.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.1.4.6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.1.4.7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez

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Étape 2.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.6.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \cos (2 x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Étape 5.3

Sur $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ la dérivée est $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ la dérivée est $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

Étape 8