Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sqrt{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (2 x) - \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\sin (2 x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sin (2 x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{3})$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2.5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2.6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 2.6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 2.6.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 2.6.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 2.6.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 2.6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.6.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 2.6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 2.6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1^{2} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1 - \sqrt{3} \cdot 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \sqrt{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - \sqrt{3} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

${(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - \sqrt{3} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

${(- 1 \cdot 1)}^{2} - \sqrt{3} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(- 1)}^{2} - \sqrt{3} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - \sqrt{3} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2.5

$1 - \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1 - \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \sqrt{3} \cdot - 1$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $- \sqrt{3} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$1 + \sqrt{3}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2^{2}} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.1.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Étape 4.3.2.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{4} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 4.3.2.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} - \frac{3^{1}}{2}$

Étape 4.3.2.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{3 - 6}{4}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\frac{- 3}{4}$

Étape 4.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1 - \sqrt{3}), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 1 + \sqrt{3}), (\frac{π}{3} + 2 π n, - \frac{3}{4})$ , pour tout entier $n$

Étape 5