Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Remettez dans l’ordre $8$ et $- 3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Étape 1.2.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.5

Soustrayez $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

Étape 3.8

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $18$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{- 1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$0$