Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \cos (x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (0)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Étape 11.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 11.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$