Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 (3 x^{2})$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $30 x^{4}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $- 60 x^{3}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $30 x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $30 x^{2}$ à partir de $30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$30 x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 1$ .

$0, 1$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f' (- 1) = 30 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $30$ par $1$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 \cdot 1$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $30$ par $1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $30$ et $60$ .

$f' (- 1) = 90 + 30$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $90$ et $30$ .

$f' (- 1) = 120$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $120$ .

$120$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $120$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 {(\frac{1}{2})}^{4} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (15) (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{8}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Associez $15$ et $\frac{1}{8}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 (- 15) (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 15 (\frac{1}{2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.10

Associez $- 15$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 7.2.1.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 7.2.1.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{2^{2}})$

Étape 7.2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{4})$

Étape 7.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 (15) (\frac{1}{4})$

Étape 7.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Étape 7.2.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Étape 7.2.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 15 (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.1.16

Associez $15$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15 + 15}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{0}{2}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 0$

Étape 7.2.2.2.3

Additionnez $\frac{15}{8}$ et $0$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $\frac{15}{8}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 1)$ .

Augmente sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 30 {(2)}^{4} - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = 30 \cdot 16 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $30$ par $16$ .

$f' (2) = 480 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 480 - 60 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $8$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 {(2)}^{2}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 \cdot 4$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $30$ par $4$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 120$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $480$ de $480$ .

$f' (2) = 0 + 120$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0$ et $120$ .

$f' (2) = 120$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $120$ .

$120$

Étape 8.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $120$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$

Étape 10