Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5.2.2

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 5.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

Étape 5.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

Étape 5.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

Étape 6

Développez $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{2}{3}}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{2}{3}}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

Étape 6.4

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

Étape 6.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

Étape 6.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

Étape 6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

Étape 6.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Étape 6.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

Étape 6.10

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$