Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $x^{2} - x - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Étape 2.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{1}{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $2 + \frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Étape 2.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = - 2 x^{2}$

Étape 2.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Étape 2.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.2.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.5.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 2.2.5.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 2.2.5.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.2.5.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.5.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.2.5.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.2.5.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 2.2.5.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.2.5.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.2.5.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.2.5.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.5.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.2.5.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.5.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.5.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.5.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.5.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.5.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.2.5.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.5.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(0, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Étape 5.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6