Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Étape 1.3

Comme l’exposant $7 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{7 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Étape 3.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

Étape 3.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

Étape 3.12

Déplacez $7$ à gauche de $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

Étape 3.13

Multipliez $7$ par $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

Étape 5.2

Placez le terme $\frac{1}{7}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot 0$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $0$ .

$0$