Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} + 9 e^{x}$ , $(0, 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 9$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 9 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 9 e^{x}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 9 e^{0}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 e^{0}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 9 e^{0}$

Étape 1.4.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$0 + 9$

Étape 1.4.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$9$

Étape 2

La droite normale est perpendiculaire à la droite tangente. Prenez la réciproque négative de la pente de la droite tangente afin de déterminer la pente de la droite normale.

$- \frac{1}{9}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{9}$ et un point donné, tel que $(0, 9)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{1}{9} \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot x$

Étape 3.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{9}$ .

$y - 9 = - \frac{x}{9}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{9} + 9$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{9} x) + 9$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{9} x + 9$

Étape 4