Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} - \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{- 3}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} - x^{2} - (2 x)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

$x^{3} - x^{2} - 2 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} - x^{2} - 2 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x^{2} - 2 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) - 2 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$x (x^{2} - x) + x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 2$ .

$x (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{3}) - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$0 + 0 - {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 0$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 - \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 - \frac{1}{3} \cdot 8 - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$4 - 8 (\frac{1}{3}) - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{- 8}{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 - \frac{8}{3} - {(2)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 - \frac{8}{3} - 1 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - \frac{8}{3} - 4$

Étape 4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{1} - \frac{8}{3} - 4$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} - 4$

Étape 4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} - 4$

Étape 4.2.2.2.4

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 4}{1}$

Étape 4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 3 - 8 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - 8 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{12 - 8 - 12}{3}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.5.1

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\frac{4 - 12}{3}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$\frac{- 8}{3}$

Étape 4.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.3.2.1.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 + 1} \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{4} \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{3}) - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + {(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + {(- 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1$

Étape 4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 1$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - 1$

Étape 4.3.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3 \cdot 4} - 1$

Étape 4.3.2.2.5

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 4.3.2.2.7

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 12}{12}$

Étape 4.3.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 3$ .

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 12}{12}$

Étape 4.3.2.2.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 12}{12}$

Étape 4.3.2.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 4 - 1 \cdot 12}{12}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{3 + 4 - 12}{12}$

Étape 4.3.2.4.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7 - 12}{12}$

Étape 4.3.2.4.3

Soustrayez $12$ de $7$ .

$\frac{- 5}{12}$

Étape 4.3.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{12}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, - \frac{8}{3}), (- 1, - \frac{5}{12})$

Étape 5