Calcul infinitésimal Exemples

$5 \csc (x) \sec (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \csc (x) \sec (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$5 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 1.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.4

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.6

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 2.2.7.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.2.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]))$

Étape 2.3.5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]))$

Étape 2.3.6

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

Étape 2.3.7

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Étape 2.3.8

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Étape 2.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Étape 2.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

Étape 2.3.11

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))))$

Étape 2.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}))$

Étape 2.3.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5

Associez des termes.

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Étape 2.4.5.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 (\tan (x) \sec (x) (\csc (x) \cot (x))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.6

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.7

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 (\sec (x) (\csc^{3} (x)))$

Étape 2.4.5.8

Réorganisez les facteurs de $- 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x)$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x)$

Étape 2.4.5.9

Soustrayez $5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ de $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ .

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x)$

Étape 2.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 5 \sec^{3} (x) \csc (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + 5 \csc^{3} (x) \sec (x)$