Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Étape 1.3.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Étape 3.7.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Étape 3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Étape 4

Placez le terme $14$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.2.2

Divisez $- 3$ par $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $- 3 + 0$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Étape 10.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Étape 10.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Étape 10.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Étape 10.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Étape 10.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Étape 10.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Étape 10.3

Divisez $0$ par $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Étape 10.4

Multipliez $14$ par $0$ .

$0$