Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.4.5.2

Multipliez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.1.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2} x$ à partir de $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.1.1.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2} x$ à partir de $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.1.1.2

Factorisez ${(x - 2)}^{2} x$ à partir de $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.1.1.3

Factorisez ${(x - 2)}^{2} x$ à partir de ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.1.4

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.2

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et ${(x - 2)}^{6}$ .

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Étape 2.1.5.2.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Étape 2.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.2.2.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.6

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.1.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x + 4) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 4$ .

$0, - 4$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $- 7$ à la puissance $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Étape 7.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $- \frac{5}{2401}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 4)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Étape 8.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Étape 8.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $256$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Étape 8.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Étape 8.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $\frac{1}{64}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, 0)$ .

Augmente sur $(- 4, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $1 + 4$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Étape 9.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.3.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Étape 9.2.3.2

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Étape 9.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (1) = - 5$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 9.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 5$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Étape 10.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Étape 10.2.3.2

Divisez $21$ par $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Étape 10.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$f' (3) = - 21$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $- 21$ .

$- 21$

Étape 10.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 21$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 4, 0)$

Diminue sur : $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Étape 12