Calcul infinitésimal Exemples

$2 x - 2 \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $2 x - 2 \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 2$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 3.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.7.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.9.3

Associez les fractions.

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Étape 3.9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.9.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Étape 6.4

Sur $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ la dérivée est $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Étape 7.2

La réponse finale est $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Étape 7.3

Simplifiez

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Étape 7.4

Sur $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ la dérivée est $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Étape 9