Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Étape 3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.1

Divisez $\sqrt{1 + 0}$ par $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\sqrt{1}$

Étape 3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$