Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 8}{7 x - 4 x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 x^{2} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x - 4 x^{2}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x - 4 x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Remettez dans l’ordre $7 x$ et $- 4 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 4 x^{2} + 7 x}$

Étape 1.3.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 8}{7 x - 4 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x + 0}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.5

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [7 x - 4 x^{2}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 - 4 (2 x)}$

Étape 3.8.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{7 - 8 x}$

Étape 3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x}{- 8 x + 7}$

Étape 4

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$10 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 8 x + 7}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{- 8 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{- 8 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{- 8 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{- 8 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Étape 6.2.2

Divisez $- 8$ par $1$ .

$10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 8 + \frac{7}{x}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$10 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 8 + \frac{7}{x}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$10 \frac{1}{lim_{x \to \infty} - 8 + \frac{7}{x}}$

Étape 6.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$10 \frac{1}{- lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$10 \frac{1}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Étape 6.7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$10 \frac{1}{- 8 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$10 \frac{1}{- 8 + 7 \cdot 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$10 \frac{1}{- 8 + 0}$

Étape 8.1.2

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$10 (\frac{1}{- 8})$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{1}{- 8}$

Étape 8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$2 \cdot 5 \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{1}{- 4})$

Étape 8.3

Associez $5$ et $\frac{1}{- 4}$ .

$\frac{5}{- 4}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{4}$