Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $2 y$ dans chaque équation.

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Étape 1.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y^{2} = 2 x$ par $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Étape 1.2

Résolvez $y$ dans $y^{2} = 4 y$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 4 y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.5

Définissez $y - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $y - 4$ égal à $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (y - 4) = 0$ vraie.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 2 y$ par $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 2 y$ par $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Étape 2

Résolvez $y^{2} = 2 x$ en termes de $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = y^{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = y^{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $4$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Étape 4.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Étape 4.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.10.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Étape 4.10.2

Évaluez $\frac{1}{3} y^{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3

Simplifiez

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Étape 4.10.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 4.10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.10.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.6

Additionnez $8$ et $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.8

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 4.10.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Étape 4.10.3.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Étape 4.10.3.12

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Étape 4.10.3.13

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Étape 4.10.3.14

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Étape 4.10.3.15

Multipliez $3$ par $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Étape 4.10.3.16

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 4.10.3.16.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Étape 4.10.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Étape 4.10.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Étape 4.10.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 - \frac{32}{3}$

Étape 4.10.3.17

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Étape 4.10.3.18

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Étape 4.10.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Étape 4.10.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.3.20.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Étape 4.10.3.20.2

Soustrayez $32$ de $48$ .

$\frac{16}{3}$

Étape 5