Calcul infinitésimal Exemples

$7 x \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

Étape 1.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

Étape 1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

Étape 1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Étape 1.8.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$7 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.10

Associez $7$ et $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.11

Multipliez $4$ par $7$ .

$f' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{28}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{28}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.10

Multipliez.

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Étape 2.10.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Étape 2.10.2

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\frac{28}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{28}{9}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{28 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9 \cdot 3}$

Étape 3.11

Multipliez.

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Étape 3.11.1

Multipliez $2$ par $28$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{9 \cdot 3}$

Étape 3.11.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{27}$

Étape 3.11.3

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{56}{27 x^{\frac{5}{3}}}$