Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(3 x + 4)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(3 x + 4)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{5}] + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 3 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 4$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 + 0)) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} \cdot 3) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5} \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez ${(3 x + 4)}^{5}$ par $1$ .

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez ${(3 x + 4)}^{4}$ à partir de $x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Factorisez ${(3 x + 4)}^{4}$ à partir de $x (15 {(3 x + 4)}^{4})$ .

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{5}$

Étape 1.4.1.2

Factorisez ${(3 x + 4)}^{4}$ à partir de ${(3 x + 4)}^{5}$ .

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{4} (3 x + 4)$

Étape 1.4.1.3

Factorisez ${(3 x + 4)}^{4}$ à partir de ${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{4} (3 x + 4)$ .

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15) + 3 x + 4)$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

${(3 x + 4)}^{4} (15 \cdot x + 3 x + 4)$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $15 x$ et $3 x$ .

$f' (x) = {(3 x + 4)}^{4} (18 x + 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 x + 4)}^{4}$ et $g (x) = 18 x + 4$ .

${(3 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [18 x + 4] + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(3 x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.2

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(3 x + 4)}^{4} (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(3 x + 4)}^{4} (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $18$ par $1$ .

${(3 x + 4)}^{4} (18 + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(3 x + 4)}^{4} (18 + 0) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Additionnez $18$ et $0$ .

${(3 x + 4)}^{4} \cdot 18 + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $18$ à gauche de ${(3 x + 4)}^{4}$ .

$18 \cdot {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (4 {(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $18 x + 4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 \cdot (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.4.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 + 0)$

Étape 2.4.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} \cdot 3$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 12 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (12 (18 x) + 12 \cdot 4) {(3 x + 4)}^{3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $18$ par $12$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 12 \cdot 4) {(3 x + 4)}^{3}$

Étape 2.5.3

Multipliez $12$ par $4$ .

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$

Étape 2.5.4

Factorisez ${(3 x + 4)}^{3}$ à partir de $18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Factorisez ${(3 x + 4)}^{3}$ à partir de $18 {(3 x + 4)}^{4}$ .

${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$

Étape 2.5.4.2

Factorisez ${(3 x + 4)}^{3}$ à partir de $(216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$ .

${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{3} (216 x + 48)$

Étape 2.5.4.3

Factorisez ${(3 x + 4)}^{3}$ à partir de ${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{3} (216 x + 48)$ .

$f'' (x) = {(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4) + 216 x + 48)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x) + 18 \cdot 4 + 216 x + 48)]$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $3$ par $18$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (54 x + 18 \cdot 4 + 216 x + 48)]$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $18$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (54 x + 72 + 216 x + 48)]$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Additionnez $54 x$ et $216 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (270 x + 72 + 48)]$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $72$ et $48$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (270 x + 120)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 x + 4)}^{3}$ et $g (x) = 270 x + 120$ .

${(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [270 x + 120] + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $270 x + 120$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

${(3 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.2

Comme $270$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $270 x$ par rapport à $x$ est $270 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(3 x + 4)}^{3} (270 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(3 x + 4)}^{3} (270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.4

Multipliez $270$ par $1$ .

${(3 x + 4)}^{3} (270 + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.5

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(3 x + 4)}^{3} (270 + 0) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Additionnez $270$ et $0$ .

${(3 x + 4)}^{3} \cdot 270 + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $270$ à gauche de ${(3 x + 4)}^{3}$ .

$270 \cdot {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 4$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 4$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (3 {(3 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 3.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $270 x + 120$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 \cdot (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 + 0)$

Étape 3.5.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} \cdot 3$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 9 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (9 (270 x) + 9 \cdot 120) {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.2

Multipliez $270$ par $9$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 9 \cdot 120) {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $9$ par $120$ .

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.4

Factorisez ${(3 x + 4)}^{2}$ à partir de $270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

Factorisez ${(3 x + 4)}^{2}$ à partir de $270 {(3 x + 4)}^{3}$ .

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3.6.4.2

Factorisez ${(3 x + 4)}^{2}$ à partir de $(2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$ .

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{2} (2430 x + 1080)$

Étape 3.6.4.3

Factorisez ${(3 x + 4)}^{2}$ à partir de ${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{2} (2430 x + 1080)$ .

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.5

Réécrivez ${(3 x + 4)}^{2}$ comme $(3 x + 4) (3 x + 4)$ .

$(3 x + 4) (3 x + 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.6

Développez $(3 x + 4) (3 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x (3 x + 4) + 4 (3 x + 4)) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x + 4)) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.7.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$(9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 16) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.7.2

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (270 (3 x) + 270 \cdot 4 + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.8.2

Multipliez $3$ par $270$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (810 x + 270 \cdot 4 + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.8.3

Multipliez $270$ par $4$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (810 x + 1080 + 2430 x + 1080)$

Étape 3.6.9

Additionnez $810 x$ et $2430 x$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 1080 + 1080)$

Étape 3.6.10

Additionnez $1080$ et $1080$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 2160)$

Étape 3.6.11

Développez $(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 2160)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$9 x^{2} (3240 x) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \cdot 3240 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.12.2.1

Déplacez $x$ .

$9 \cdot 3240 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 \cdot 3240 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \cdot 3240 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$9 \cdot 3240 x^{3} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.3

Multipliez $9$ par $3240$ .

$29160 x^{3} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.4

Multipliez $2160$ par $9$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 x \cdot x + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.12.6.1

Déplacez $x$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 (x \cdot x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 x^{2} + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.7

Multipliez $24$ par $3240$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.8

Multipliez $2160$ par $24$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.9

Multipliez $3240$ par $16$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 16 \cdot 2160$

Étape 3.6.12.10

Multipliez $16$ par $2160$ .

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 34560$

Étape 3.6.13

Additionnez $19440 x^{2}$ et $77760 x^{2}$ .

$29160 x^{3} + 97200 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 34560$

Étape 3.6.14

Additionnez $51840 x$ et $51840 x$ .

$f''' (x) = 29160 x^{3} + 97200 x^{2} + 103680 x + 34560$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $29160 x^{3} + 97200 x^{2} + 103680 x + 34560$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [29160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [97200 x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$ .

$\frac{d}{d x} [29160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [97200 x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [29160 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $29160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $29160 x^{3}$ par rapport à $x$ est $29160 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$29160 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [97200 x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$29160 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [97200 x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.2.3

Multipliez $3$ par $29160$ .

$87480 x^{2} + \frac{d}{d x} [97200 x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [97200 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $97200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $97200 x^{2}$ par rapport à $x$ est $97200 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$87480 x^{2} + 97200 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$87480 x^{2} + 97200 (2 x) + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $97200$ .

$87480 x^{2} + 194400 x + \frac{d}{d x} [103680 x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [103680 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Comme $103680$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $103680 x$ par rapport à $x$ est $103680 \frac{d}{d x} [x]$ .

$87480 x^{2} + 194400 x + 103680 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$87480 x^{2} + 194400 x + 103680 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.4.3

Multipliez $103680$ par $1$ .

$87480 x^{2} + 194400 x + 103680 + \frac{d}{d x} [34560]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Comme $34560$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $34560$ par rapport à $x$ est $0$ .

$87480 x^{2} + 194400 x + 103680 + 0$

Étape 4.5.2

Additionnez $87480 x^{2} + 194400 x + 103680$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 87480 x^{2} + 194400 x + 103680$