Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Étape 1.5.3

Associez des termes.

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Étape 1.5.3.2

Additionnez $- 8 e^{x} x$ et $5 x e^{x}$ .

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Étape 1.5.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Étape 1.5.3.2.2

Additionnez $- 8 x e^{x}$ et $5 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Étape 1.5.3.3

Soustrayez $10 e^{x}$ de $5 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 1.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

Étape 1.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 2.5.3.2

Soustrayez $3 x e^{x}$ de $- 8 e^{x} x$ .

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Étape 2.5.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 2.5.3.2.2

Soustrayez $3 x e^{x}$ de $- 8 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $5 e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

Étape 2.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

Étape 2.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$