Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} - 6 x y = 0$ , $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{3} + y^{3} - 6 x y) = \frac{d}{d y} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3} - 6 x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 6 x y$ par rapport à $y$ est $- 6 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y x')$

Étape 2.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x + y x')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 (y x')$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 y x'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = - 3 y^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} x' - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 5.2

Factorisez $3 x'$ à partir de $3 x^{2} x' - 6 y x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 x'$ à partir de $3 x^{2} x'$ .

$3 x' x^{2} - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 x'$ à partir de $- 6 y x'$ .

$3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 x'$ à partir de $3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y)$ .

$3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ par $3 (x^{2} - 2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ par $3 (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{2 x}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- y^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) - (- 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{- (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (y^{2} - 2 x)$ comme $- 1 (y^{2} - 2 x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $\frac{4}{3}$ et $y$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{64}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 2 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 8.1.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.6

Pour écrire $- \frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1.7.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{64 - 8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.9.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- \frac{\frac{64 - 24}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.1.9.2

Soustrayez $24$ de $64$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{4^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - 2 (\frac{8}{3})}$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 2 (\frac{8}{3})$ .

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Étape 8.2.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 2 \cdot 8}{3}}$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 16}{3}}$

Étape 8.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3}}$

Étape 8.2.6

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 8.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.7.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Étape 8.2.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}}$

Étape 8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 16 \cdot 3}{9}}$

Étape 8.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.9.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 48}{9}}$

Étape 8.2.9.2

Soustrayez $48$ de $16$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{- 32}{9}}$

Étape 8.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{40}{9}}{- \frac{32}{9}}$

Étape 8.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{40}{9} (- \frac{9}{32}))$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 8.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{32}$ dans le numérateur.

$- (\frac{40}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Étape 8.4.2

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$- (\frac{8 (5)}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Étape 8.4.3

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Étape 8.4.4

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Étape 8.4.5

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{- 9}{4})$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 (- 1)}{4})$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 \cdot - 1}{4})$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$- (5 (\frac{- 1}{4}))$

Étape 8.6

Associez $5$ et $\frac{- 1}{4}$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Étape 8.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{- 5}{4}$

Étape 8.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5}{4}$

Étape 8.8

Multipliez $- - \frac{5}{4}$ .

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Étape 8.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{4})$

Étape 8.8.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$\frac{5}{4}$