Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Étape 1.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$8 (0) \cdot e^{0} + 8 e^{0}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 \cdot e^{0} + 8 e^{0}$

Étape 1.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Étape 1.7.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$0 + 8$

Étape 1.7.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$

Étape 2

La droite normale est perpendiculaire à la droite tangente. Prenez la réciproque négative de la pente de la droite tangente afin de déterminer la pente de la droite normale.

$- \frac{1}{8}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{8}$ et un point donné, tel que $(0, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$

Étape 3.3.2

Simplifiez $- \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot x$

Étape 3.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{x}{8}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{8} x)$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{8} x$

Étape 4