Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Étape 1.2

Comme l’exposant $x^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Étape 4

Réduisez.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Étape 5.1.2

Comme l’exposant $x^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Étape 5.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.4

Simplifiez

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Étape 5.3.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Étape 5.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

Étape 5.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

Étape 5.4

Réduisez.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

Étape 5.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Étape 5.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Étape 5.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

Étape 6

Comme la fonction $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ , la constante positive $\frac{1}{2}$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 6.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $\frac{1}{2}$ retiré.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Étape 6.2

Comme l’exposant $x^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\infty$