Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(14 + x)}^{2}$ comme $(14 + x) (14 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Étape 1.1.2

Développez $(14 + x) (14 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $14$ par $14$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $14$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $14 x$ et $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6

Différenciez.

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Étape 1.1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $196 + 28 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.2

Comme $196$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $196$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.4

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.6

Multipliez $28$ par $1$ .

$2 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Étape 1.1.6.9

Déplacez $2$ à gauche de $196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Étape 1.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{2} \cdot 28) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.7.5.1

Déplacez $28$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 (28 \cdot x^{2}) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.2

Multipliez $28$ par $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.5.3.1

Déplacez $x$ .

$56 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.7.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{2} + 2 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{3} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$56 x^{2} + 2 (2 \cdot x^{3}) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.6

Multipliez $2$ par $196$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (392 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.7

Multipliez $392$ par $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.8

Multipliez $28$ par $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x \cdot x) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x)) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{1 + 1}) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{2}) + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.13

Multipliez $56$ par $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{2} x)$

Étape 1.1.7.5.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 (x^{1} x^{2}))$

Étape 1.1.7.5.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{1 + 2})$

Étape 1.1.7.5.16

Additionnez $1$ et $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{3})$

Étape 1.1.7.5.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 4 x^{3}$

Étape 1.1.7.5.18

Additionnez $56 x^{2}$ et $112 x^{2}$ .

$168 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 4 x^{3}$

Étape 1.1.7.5.19

Additionnez $4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$168 x^{2} + 8 x^{3} + 784 x$

Étape 1.1.7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{3}$ .

$8 x (x^{2}) + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $168 x^{2}$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 784 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $784 x$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 8 x (98) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{2}) + 8 x (21 x)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 21 x + 98$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $98$ et dont la somme est $21$ .

$7, 14$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$8 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 2.6

Définissez $x + 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 14$ égal à $0$ .

$x + 14 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 14$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x (x + 7) (x + 14) = 0$ vraie.

$x = 0, - 7, - 14$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 14)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 15$ dans l’expression.

$f' (- 15) = 8 {(- 15)}^{3} + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $3$ .

$f' (- 15) = 8 \cdot - 3375 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 \cdot 225 + 784 (- 15)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $168$ par $225$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 + 784 (- 15)$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $784$ par $- 15$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 - 11760$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 27000$ et $37800$ .

$f' (- 15) = 10800 - 11760$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $11760$ de $10800$ .

$f' (- 15) = - 960$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 960$ .

$- 960$

Étape 5.3

Sur $x = - 15$ la dérivée est $- 960$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 14)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 14)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 14, - 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{21}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.3

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9261}{8}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.9

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $168$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 (42) (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 \cdot (42 (\frac{441}{4})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 42 \cdot 441 + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.12

Multipliez $42$ par $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (- \frac{21}{2})$

Étape 6.2.1.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (\frac{- 21}{2})$

Étape 6.2.1.13.2

Factorisez $2$ à partir de $784$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 (392) (\frac{- 21}{2})$

Étape 6.2.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 \cdot (392 (\frac{- 21}{2}))$

Étape 6.2.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 392 \cdot - 21$

Étape 6.2.1.14

Multipliez $392$ par $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 - 8232$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 9261$ et $18522$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 9261 - 8232$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $8232$ de $9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 1029$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1029$ .

$1029$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{21}{2}$ la dérivée est $1029$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 14, - 7)$ .

Augmente sur $(- 14, - 7)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 7, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{343}{8}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.9

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $168$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 (42) (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 \cdot (42 (\frac{49}{4})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 42 \cdot 49 + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.12

Multipliez $42$ par $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (- \frac{7}{2})$

Étape 7.2.1.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (\frac{- 7}{2})$

Étape 7.2.1.13.2

Factorisez $2$ à partir de $784$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 (392) (\frac{- 7}{2})$

Étape 7.2.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 \cdot (392 (\frac{- 7}{2}))$

Étape 7.2.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 392 \cdot - 7$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $392$ par $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 - 2744$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 343$ et $2058$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1715 - 2744$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2744$ de $1715$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1029$ .

$- 1029$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{7}{2}$ la dérivée est $- 1029$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 7, 0)$ .

Diminue sur $(- 7, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Étape 8.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 8 + 168 \cdot 1 + 784 (1)$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $168$ par $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784 (1)$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $784$ par $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $8$ et $168$ .

$f' (1) = 176 + 784$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $176$ et $784$ .

$f' (1) = 960$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $960$ .

$960$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $960$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Étape 10