Calcul infinitésimal Exemples

$2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (x) - \ln (x + 2)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) - \ln (x + 2) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{x + 2}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{x^{2}}{x + 2}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = e^{0} (x + 2)$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} (x + 2)$ .

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Étape 5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 1 (x + 2)$

Étape 5.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$x^{2} = x + 2$

Étape 6

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x = 2$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 2$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 2$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 2$

Étape 8

Simplifiez $x (x - 1)$ .

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Étape 8.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 2$

Étape 8.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 2$

Étape 8.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 2$

Étape 8.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x = 2$

Étape 9

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$ vrai.

$x = 2$