Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{1}{3} {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} = x$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{3} \cdot {(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Associez les fractions.

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{{({(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{1}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez

$\frac{y^{2} + 2}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.3

Divisez la fraction $\frac{y^{2} + 2}{3^{\frac{2}{3}}}$ en deux fractions.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ par $3^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ par $3^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3^{\frac{2}{3}}}$ dans le numérateur.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} = x$