Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 \sec (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 8 \sec (x) \tan (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sec (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.4

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 2.4.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 2.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Étape 2.7

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Étape 2.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{3} (x)$