Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{c x + d}{a x + b}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{f (d)}{g (d)}]$ est $\frac{g (d) \frac{d}{d \cdot d} [f (d)] - f (d) \frac{d}{d \cdot d} [g (d)]}{{g (d)}^{2}}$ où $f (d) = c x + d$ et $g (d) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d \cdot d} [c x + d] - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $c x + d$ par rapport à $d$ est $\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $c x$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $c x$ par rapport à $d$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ est $n d^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (0 + 1) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x + b$ par rapport à $d$ est $\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b]$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $a x$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $d$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $b$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $b$ par rapport à $d$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 + (- (c x) - d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a x + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{a x + b - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- c x \cdot 0$ .

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Étape 3.4.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 c x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3.2

Multipliez $0$ par $c$ .

$\frac{a x + b + 0 x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3.3

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{a x + b + 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- d \cdot 0$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0 d}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4.2

Multipliez $0$ par $d$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les termes opposés dans $a x + b + 0 + 0$ .

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Étape 3.4.2.1

Additionnez $a x + b$ et $0$ .

$\frac{a x + b + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $a x + b$ et $0$ .

$\frac{a x + b}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $a x + b$ et ${(a x + b)}^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $a x + b$ à partir de ${(a x + b)}^{2}$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{a x + b}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{b + a x}$