Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (8 - x) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 8 - x$ et $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$(8 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.7

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Étape 1.1.5.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.5.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.5.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.5.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.5.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.5.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Étape 1.1.5.13.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.13.3

Réécrivez $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ comme $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(8 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(8 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(8 - x) (2 x) + (8 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (2 x) - x (2 x) + (8 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$8 (2 x) - x (2 x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.5.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x - x (2 x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 x - 2 x \cdot x + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$16 x - 2 (x^{1} x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$16 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x - 2 x^{1 + 1} + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 x - 2 x^{2} + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.7

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 x - 2 x^{2} + 16 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 x - 2 x^{2} + 16 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.9

Soustrayez $2 x$ de $16 x$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.6.5.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - 2 x - 1$

Étape 1.1.6.5.12

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$14 x - 3 x^{2} + 16 - 2 x - 1$

Étape 1.1.6.5.13

Soustrayez $2 x$ de $14 x$ .

$12 x - 3 x^{2} + 16 - 1$

Étape 1.1.6.5.14

Soustrayez $1$ de $16$ .

$12 x - 3 x^{2} + 15$

Étape 1.1.6.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x + 15$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 12 x + 15$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 12 x + 15$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) + 15 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $15$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (- 5)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $(8 - x) {(x + 1)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$(8 - (5)) {((5) + 1)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(8 - 5) {((5) + 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $5$ de $8$ .

$3 {((5) + 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$3 \cdot 6^{2}$

Étape 4.1.2.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 36$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $3$ par $36$ .

$108$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$(8 - (- 1)) {((- 1) + 1)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(8 + 1) {((- 1) + 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$9 {((- 1) + 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$9 \cdot 0^{2}$

Étape 4.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 \cdot 0$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $9$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(5, 108), (- 1, 0)$

Étape 5