Calcul infinitésimal Exemples

$8^{x} = \frac{5^{x + 2}}{3}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (8^{x}) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Étape 2

Développez $\ln (8^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (8) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$ comme $\ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$ .

$x \ln (8) = \ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$

Étape 4

Développez $\ln (5^{x + 2})$ en déplaçant $x + 2$ hors du logarithme.

$x \ln (8) = (x + 2) \ln (5) - \ln (3)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(x + 2) \ln (5) - \ln (3)$ .

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (8) = x \ln (5) + 2 \ln (5) - \ln (3)$

Étape 5.1.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (5^{2}) - \ln (3)$

Étape 5.1.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (25) - \ln (3)$

Étape 5.1.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (8) - x \ln (5) - \ln (\frac{25}{3}) = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $\ln (\frac{25}{3})$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (8) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (8) - x \ln (5)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (8)$ .

$x (\ln (8)) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (8) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ par $\ln (8) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ par $\ln (8) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (8) - \ln (5)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 4.51116417 \dots$