Calcul infinitésimal Exemples

$h (θ) = θ \sin (θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = θ$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$θ \cos (θ) + \sin (θ) \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$f' (θ) = θ \cos (θ) + \sin (θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $θ \cos (θ) + \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = θ$ et $g (θ) = \cos (θ)$ .

$θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.2.4

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) + \cos (θ)$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Additionnez $\cos (θ)$ et $\cos (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) + 2 \cos (θ)$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (θ) = - θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$

Étape 3

La dérivée seconde de $h (θ)$ par rapport à $θ$ est $- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$ .

$- θ \sin (θ) + 2 \cos (θ)$