Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (π + h) + 1}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (π + h) + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (π + h) + lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} π + h) + lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (π + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (π + lim_{h \to 0} h) + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\cos (π + 0) + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{\cos (π) + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{- \cos (0) + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (π + h) + 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (π + h) + 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (π + h) + 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (π + h) + 1$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\cos (π + h)] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (π + h)] + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\cos (π + h)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = π + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [π + h] + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [π + h] + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) \frac{d}{d h} [π + h] + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $π$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $π$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) + \frac{d}{d h} [1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $- \sin (π + h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (π + h)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- \sin (π + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (π + h)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (π + h)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{h \to 0} π + h)$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \sin (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h)$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \sin (π + lim_{h \to 0} h)$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \sin (π + 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$- \sin (π)$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \sin (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 0$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$