Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 15 \sqrt{x (x - 3)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (x - 3)}$ comme ${(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x (x - 3)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{{(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 7.3

Placez ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}}$ et $15$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \cdot 1)$

Étape 9.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 9.6.1

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + x - 3)$

Étape 9.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $x (x - 3)$ .

$\frac{15}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 3)$

Étape 10.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$