Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 e^{e^{2 x}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{e^{2 x}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{2 x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{2 x}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{2 x}$ .

$2 (e^{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$2 e^{e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$2 e^{e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 e^{2 x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}} \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}}$