Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 (x^{2})}{e^{x}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2}}{e^{x}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 5

Associez $2$ et $\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{2 (e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (e^{x} (2 x)) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (2 e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Étape 6.4

Factorisez $2 e^{x} x$ à partir de $4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2 e^{x} x$ à partir de $4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $2 e^{x} x$ à partir de $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $2 e^{x} x$ à partir de $2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)$ .

$\frac{2 e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Étape 6.5.2.4

Divisez $2 e^{- x} x (2 - x)$ par $1$ .

$2 e^{- x} x (2 - x)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{- x} x \cdot 2 + 2 e^{- x} x (- x)$

Étape 6.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x (- x)$

Étape 6.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} (x \cdot x) \cdot - 1$

Étape 6.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x^{2} \cdot - 1$

Étape 6.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$

Étape 6.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$ .

$4 x e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x}$