Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \log_{2} (x + 1) + 3$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \log_{2} (x + 1) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \log_{2} (x + 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{2} (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\log_{2} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$2 (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ par $1$ .

$2 \frac{1}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.8

Associez $2$ et $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x \ln (2) + 1 \ln (2)} + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)} + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$ et $0$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$