Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (1 - x^{2} - y^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

$4 x + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x^{2} - y^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.7

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.9

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.10

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.11

Associez $- 2$ et $\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$4 x + 0 - (\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}} x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.12

Associez $\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}}$ et $x$ .

$4 x + 0 - \frac{- 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x + 0 - - \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 x + 0 + 1 \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.15

Multipliez $\frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ par $1$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez des termes.

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Étape 6.1.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Étape 6.1.2

Pour écrire $4 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2})}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Étape 6.1.4

Additionnez $\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ et $0$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{- x^{2} - y^{2} + 1}$