Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}]$ .

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Étape 5.1

Comme $- \sqrt{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sqrt{5} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 6.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + 0$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} \frac{1}{x^{3}} + 7 + 0$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2}{x^{3}} \sqrt{5} + 7 + 0$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{2}{x^{3}}$ et $\sqrt{5}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 7 + 0$

Étape 8.2.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8 + 0$

Étape 8.2.4

Additionnez $8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$ et $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$