Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x^{2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 x^{2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 3.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.10

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.12

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Étape 5.2

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Étape 6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Étape 6.2.2

Additionnez $6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$ et $0$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$